DETERMINAN

1.1 Pengertian

Setiap matrik bujursangkar A selalu dikaitkan dengan suatu sknlar yang disebut Determinan. Sebelum mulai dengan yang lebih umum, kita ambil dahulu matrik A_(2x2) sebagai berikut :

Didefinisikan ; det(A) = = ad -bc

Contoh :

A = maka det(A) = 1.5 – 3.5 = 5 – 15 = -10

2.2 PERMUTASI

Definisi :

Permutasi himpunan bilangan – bilangan bulat {1,2,3 …,n} adalah susunan bilangan – bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan – bilangan tersebut.

Contoh 4.1:

Ada 6 permutasi yang berbeda dari himpunan {1,2,3} yaitu {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,2,1}, {3,1,2}

Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan factorial. Untuk contoh soal diatas 3! = 1.2.3 = 6

Definisi

Invers pada suatu permutasi (j₁, j₂, j₃ …,j_n) adalah adanya j_k < j_i (j_k mendahului j_i) padahal j_i < j_k (I dan k = 1, 2, . . ., n)

Contoh 4.2:

Berapa banyak invers yang terdapat pada permutasi {2, 1, 4, 3} ?

Ada 2 invers yaitu :

1. j_i= 2 mendahului j_k= 1, padahal 1 < 2

2. j_i= 4 mendahului j_k= 3, padahal 3 < 4

3.3 DETERMINAN

Cara termudah mencari determinan dari matrik bujursangkar untuk orde yang tidak terlalu besar adalah dengan metode SARRUS .

(-) (-) (-)

(+) (+) (+)

Contoh 4.3:

= 2.1.2 + 3.2.3 + 1.2.1 – 1.1.3 – 2.2.1 – 3.2.2

= 4 + 18 + 2 – 3 – 4 – 12 = 5

5.4 SIFAT – SIFAT DETERMINAN

1. det(A) = det(A^T)

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris atau kolom ditukar tempatnya.

3. Harga determinan menjadi l kali, bila suatu baris / kolom dikalikan dengan skalar l

5.5 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS

Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

Theorema :

Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen – elemen pada diagonal utama, yaitu , det(A) = a₁₁.a₂₂.a₃₃ .. a_nn

Contoh 4.4 : = (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296

Contoh 4.5 :

Hitung det(A) dimana A =

Jawab :

Baris I ditukar dengan baris II ( H₂₁), sehingga menjadi = -

= - 3 H₃₁^(-2) = - 3 H₃₂^(-10)

= - 3 = (-3) (-55) = (-3) (-55) (1) = 165

Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan dengan menggunakan komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah diprogramkan.

5.6 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER

Minor a_ij adalah determinan submatrik yang tetap setelah baris ke – i dan kolom ke – j dicoret dari A . Dinyatakan dengan |M_ij|.

Sedangkan bilangan (-1) ^i+j |Mij|dinyatakan oleh C_ij disebut Kofaktor

Contoh 4.6 :

A = Minor dari elemen a₂₃= = 18 – 24 = -6

Kofaktor dari elemen a₂₃ = (-1)(-6) = 6

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor hanya berbeda pada tandanya, yaitu C_ij= M_ij. Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaantanda + atau tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan C_ij dan M_ij berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan :

Misalnya C₁₁ = M₁₁, C₂₁ = -M₂₁ , C₄₄ = M₄₄, C₂₃ = -M₂₃

Theorema

Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan elemen – elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1 £ i £ n dan 1 £ j £ n , maka

det(A) = a_1jC_1j + a_2jC_2j+ … + a_njC_nj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)

dan

det(A) = a_i1C_i1 + a_i2C_i2+ … + a_inC_in

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

Contoh 4.7 :

Det(A) bila A = adalah

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama

= 3 - 1 + 0 = (3)(-4) – (1)(-11)

= -12 + 11

= -1

Definisi :

Jika A adalah sebarang matrik n x n dan C_ijadalah kofaktor a_ij, maka matrik

disebut matrik kofaktor A.

Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A= adj(A)

ATURAN CRAMER

Theorema

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik. Pemecahan ini adalah :