Matriks

1.1 Pengertian

Matrik adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)

Skalar – skalar itu disebut elemen matrik. Untuk batasnya biasanya digunakan: ( ), [ ], || ||

1.2 Notasi Matrik

Matrik diberi nama dengan huruf besar. Secara lengkap ditulis matrik A=(a_ij), artinya suatu matrik A yang elemen – elemennya adalah a_ij dimana index i menunjukkan baris ke-i dan indeks ke–j menunjukkan kolom ke–j .

Sehingga bila matrik disusun secara A_(mxn) = (aij), mxn disebut ordo (ukuran) dari matrik A.

1.3 Operasi pada Matrik

1. Penjumlahan matrik

Syarat : ukuran matrik harus sama.

Jika A = (a_ij) dan B = (b_ij), matrik berukuran sama, maka A + B adalah suatu matrik C = (c_ij) dimana c_ij = a_ij + b_ij untuk setiap I dan j

2. Perkalian skalar terhadap matrik

Kalau l suatu skalar (bilangan) dan A = (a_ij), maka matrik lA = (la_ij), dengan kata lain, matrik lA diperoleh dengan mengalikan semua elemen matrik A dengan l.

Hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar :

Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan l adalah skalar maka :

1. A + B = B + A (komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B+C) (asosiatif)

3. l(A + B) = lA + lB (distributif)

4. Selalu ada matrik D sedemikian hingga A + D = B

3. Perkalian matrik

Pada umumnya matrik tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB ¹ BA. Pada perkalian matrik AB, matrik A disebut matrik pertama dan B matrik kedua.

Syarat : Jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua

Definisi :

Pandang A = (a_ij) berukuran (p x q) dan B = (b_ij) berukuran (q x r). Maka perkalian AB adalah suatu matrik C = (c_ij) berukuran (p x r) dimana :

cij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + … + a_iq b_qj, untuk setiap i = 1,2,…,p dan j = 1,2, … r

Hukum pada perkalian matrik :

1. A(B + C) = AB + AC, dan (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum distributif

2. A(BC) = (AB)C , memenuhi hukum asosiatif

3. Perkalian tidak komutatif, AB ¹ BA

4. Jika AB = 0 (matrik 0 ) , yaitu matrik yang semua elemennya adalah = 0, kemungkinan kemungkinannya adalah :

(i). A = 0 dan B = 0

(ii) A = 0 atau B = 0

(iii) A ¹ 0 dan B ¹ 0

5. Bila AB = AC belum tentu B = C

4. Transpose dari suatu matrik

Pandang suatu matrik A = (a_ij) berukuran (m x n) maka transpose dari A adalah matrik A^T berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke – i dari A, i = 1,2,…,m sebagai kolom ke –i dari A^T. Dengan kata lain : A^T = (a_ji)

Sifat – sifat matrik transpose

1. (A + B)^T = A^T + B^T

2. (A^T)^T = A

3. l(A^T) = (lA)^T

4. (AB)^T = B^T A^T

1.4 Beberapa Jenis matrik Khusus

1. Matrik bujursangkar

adalah matrik dengan jumlah baris = jumlah kolom, sehingga disebut berordo n.

Barisan elemen a₁₁, a₂₂, … a_nn disebut diagonal utama dari matrik bujursangkar A

2. Matrik nol

adalah matrik yang semua elemennya adalah 0

3. Matrik diagonal

matrik bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya 0.

4. Matrik identitas

adalah matrik diagonal yang elemen – elemen diagonal utama adalah 1.

5. Matrik skalar

adalah matrik diagonal dengan semua elemen diagonal utamanyanya = k

6. Matrik segitiga bawah (lower triangular)

adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal utama = 0.

7. Matrik segitiga atas (upper triangular)

adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0.

8. Matrik simetris

adalah matrik yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

9. Matrik anti simetris

adalah matrik yang transposenya adalah negatifnya.

.

10. Matrik hermitian

adalah matrik yang bila transpose hermitiannya adalah sama dengan dirinya sendiri.

11. Matrik idempoten, nilpotent

Bila berlaku A.A = A² = A, maka A dikatakan matrik idempoten.

Bila A^r = 0, maka A nilpotent dengan index r (dimana r adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan tersebut)

1.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom suatu matrik

Yang dimaksud dengan transformasi elementer pada baris dan kolom suatu matrik A adalah sebagai berikut :

1a. Penukaran tempat baris ke – i dan baris ke – j ditulis H(A)

b. Penukaran tempat kolom ke – i dan kolom ke – j ditulis K(A)

2a Mengalikan baris ke – i dengan skalar l ¹ 0 , ditulis H(A)

b. Mengalikan kolom ke – j dengan skalar l ¹ 0 , ditulis K(A)

3a. Menambah baris ke – i dengan l kali baris ke – j ditulis H_ij^(l)(A)

b. Menambah kolom ke – i dengan l kali kolom ke – j ditulis K_ij^(l)(A)

Misalnya kita telah mengetahui matrik B sebagai hasil transformasi elementer dari A. Kita dapat mencari A, disebut invers dari transformasi elementer tersebut.

Matrik ekivalen

Dua matrik A dan B dikatakan ekivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lin dengan transformasi – transformasi elementer terhadap baris dan atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris saja, maka dikatakan ekivalen baris. Begitu juga dengan kolom.

Matrik Elementer

Sebuah matrik n x n disebut matrik elementer jika matrik tersebut dapat diperoleh dari matrik identitas n x n yaitu I_n dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal.

1.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan

Misal diketahui matrik A adalah matrik bujursangkar. Dan X adalah pemecahan bagi AX = 0 dimana AX = 0 adalah bentuk matrik dari sistem :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = 0

.

.

.

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = 0

Jika kita memecahkannya dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan, maka sistem persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari matrik yang diperbesar akan menjadi :

x₁ = 0

x₂ = 0

.

.

x_n = 0

dan matrik yang diperbesar tersebut adalah :

3.7 Mencari invers matrik

Contoh 3.1:

Cari invers matrik A =

Jawab :

Pada akhir operasi , matrik dibentuk menjadi [I |A^-1] dari bentuk asal [A | I]

dengan operasi elementer H dan H menjadi

dengan operasi elementer H menjadi

dengan operasi elementer H menjadi

dengan operasi elementer H dan Hmenjadi

dengan operasi elementer H menjadi

Jadi invers dari matrik A adalah